序言：作為思想的載體和知識的探索者，寫作是一種獨特的藝術(shù)，我們?yōu)槟鷾蕚淞瞬煌L(fēng)格的5篇函數(shù)最值的應(yīng)用，期待它們能激發(fā)您的靈感。

篇1

一、三角函數(shù)最值

1.構(gòu)造復(fù)數(shù)法

根據(jù)所給函數(shù)表達式的特點，把它與復(fù)數(shù)聯(lián)系起來，再通過復(fù)數(shù)的性質(zhì)來確定最值。如復(fù)數(shù)a+bi的模為■，若函數(shù)表達式中一些項形如■時可考慮構(gòu)造相關(guān)復(fù)數(shù)。某些三角函數(shù)式實質(zhì)上可以看成幾個復(fù)數(shù)的模的和或差，因此，求這樣的式子的最值可以轉(zhuǎn)化為求復(fù)數(shù)的模的最值問題。根據(jù)三角問題的條件、結(jié)構(gòu)，找出與復(fù)數(shù)知識的溝通點，明確解題方向，然后利用復(fù)數(shù)的模，將題設(shè)對照復(fù)數(shù)模的形式，結(jié)合模的性質(zhì)構(gòu)造復(fù)數(shù)。

例1：求函數(shù)f（x）=■+■的最值。

解：原函數(shù)可改寫為：

f（x）=■+■，

顯然當sinx=-1時，f（x）max=■+■，

下面求其最小值，可構(gòu)造兩個復(fù)數(shù)：z1=（1-2sinx）+2i，z2=2sinx+i，

則f（x）=|z1|+|z2|；|z1+z2|=|1+3i|=■，

由不等式|z1|+|z2|≥|z1+z2|=■當且僅當■=■時取等號，即當sinx=■時，f（x）min=■。

2.利用立體幾何圖形法

根據(jù)約束條件和所求量的幾何意義構(gòu)造幾何模型，再通過圖象來確定最值。

有些三角函數(shù)問題蘊含著豐富的幾何直觀性，若能“以數(shù)思形”，進行“數(shù)形聯(lián)想”，就可以通過構(gòu)造圖形并研究圖形的幾何性質(zhì)來達到求最值的目的。給出函數(shù)表達式求最值時，應(yīng)該考查表達式和約束條件有什么幾何意義，把代數(shù)條件及函數(shù)表達式分別做出幾何解釋，為題中所給定的代數(shù)值選取適當?shù)膸缀瘟浚鶕?jù)題意來設(shè)計圖形的大小和位置關(guān)系，通過幾何學(xué)構(gòu)造圖形，使題目圖形化，借助于圖形的直觀性來揭示函數(shù)的最值。此外，這種化抽象為具體、數(shù)形滲透的做法，往往還可以減少復(fù)雜的推導(dǎo)。

例2：若α、β、γ均為銳角，滿足sin2α+sin2β+sin2γ=1，求y=cotαcotβcotγ的最小值。

分析：sin2α+sin2β+sin2γ=1可構(gòu)成一條對角線為1的長方體，將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為立體幾何圖形上。

解：如右圖，設(shè)長方體AC1的對角線B1D=1，∠BB1D=α，∠A1B1D=β，∠C1B1D=γ。

則有sin2α+sin2β+sin2γ=1。

設(shè)長方體的三邊長為a、b、c，則

y=cotαcotβcotγ

=■■■

≥■=2■，

即ymin=2■。

二、總結(jié)

在新課程標準下更多地強調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光從生活中捕捉數(shù)學(xué)問題，主動地運用數(shù)學(xué)知識分析生活現(xiàn)象，自主地解決生活中的實際問題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該將課堂與生活緊密聯(lián)系起來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活、寓于生活、用于生活，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識運用到學(xué)生的生活實際中去體驗感受，使學(xué)生充分認識到數(shù)學(xué)既來源于生活，又是解決生活問題的基本工具，達到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生活化的目的。

參考文獻：

1.趙裕民.用數(shù)學(xué)思想方法探求三角函數(shù)的最值例談.數(shù)學(xué)通訊，1996.9：11-13.

2.劉艷玲.求函數(shù)最值的初等方法.菏澤師專學(xué)院，1999（21）：98-100.

篇2

三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)性質(zhì)的一個重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是解決生產(chǎn)實際問題的工具.因此，對三角函數(shù)最值的考查總是每年高考的一個熱點，題型有客觀題和主觀題，多數(shù)處在高考試卷解答題中的中檔題位置，也具有一定的靈活性和綜合性. 

 

重點難點

求三角函數(shù)的最值問題就是通過適當?shù)娜亲儞Q或代數(shù)換元，化歸為基本類型的三角函數(shù)或代數(shù)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性或常用的求函數(shù)最值的方法來處理；還可以通過數(shù)形結(jié)合利用三角函數(shù)的圖象或其他幾何意義求解.

 

重點：明確三角函數(shù)的最值的常見類型和處理方法，能運用轉(zhuǎn)化思想，通過變形、換元等方法熟練地求解三角函數(shù)的值域和最值.

難點：三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)中所給出的角的取值范圍，還要注意弦函數(shù)的有界性. 含參數(shù)三角函數(shù)的最值的分類討論也是一個難點.

 

方法突破

三角函數(shù)的值域或最值的考查，一般有兩種形式：一種是化為一個角的三角函數(shù)的形式，如y=asin（ωx+φ）+k，要注意角的取值范圍的考慮；另一種是轉(zhuǎn)化為以某一三角函數(shù)為未知數(shù)的常見函數(shù)問題，如y=f（sinx），要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 具體類型有：

篇3

關(guān)鍵詞：均值不等式 函數(shù) 最值 應(yīng)用

均值不等式是高中數(shù)學(xué)不等式中的重要內(nèi)容，均值不等式在求函數(shù)最值、解決一些取值范圍問題時運用非常廣泛，是歷年高考考查的重要知識點之一。在實際應(yīng)用時，我們應(yīng)因題而宜地進行變換，并注意等號成立的條件，達到解題的目的，變換題目所給函數(shù)的形式，利用熟悉知識求解是常用的解題技巧，熟練運用該技巧，對于提高思維的靈活性和嚴密性大有益處。

一、運用均值不等式時應(yīng)注意事項

在解決這一類型的題時需要特別注意的是等號成立的條件，特別是遇到一些函數(shù)本身就有取值限制范圍時，需要根據(jù)函數(shù)合理存在的限制取值范圍再求函數(shù)的最值。

二、把所給函數(shù)巧妙轉(zhuǎn)化成均值不等式后求最值

這是一種比較難掌握的方法，因此運用此法需要具有扎實的基礎(chǔ)知識，敏銳的觀察力。下面舉兩個例子對此法加以介紹。

欲靈活應(yīng)用此法，需要多練習(xí)，并在解題的過程中體會總結(jié)規(guī)律，達到孰能生巧，總之，遇到此類型的題，最重要的是需配出相應(yīng)的形式。

三、結(jié)語

以上通過幾個實例簡單介紹了利用均值不等式求最值問題需要注意的一些事項，但對于具體題目，有時可能有多種解題方法，究竟如何求出函數(shù)合理的最值，還需要我們在教和學(xué)的實踐中不斷探索和總結(jié)。

參考文獻：

[1]王影.求函數(shù)值域的幾種常用方法.解題技巧與方法，2010.

[2]蔓，孫錳.妙用均值不等式求多元函數(shù)的最值.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010，（4）.

[3]魏福軍.用均值不等式求最值須注意的幾點.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2003，（1）.

[4]徐麗聘.利用均值不等式求最值.求實篇――學(xué)習(xí)方法總結(jié)，2009，（9）.

[5]劉新良，李慶社.十二種求函數(shù)值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

[6]高飛，朱傳橋.巧用均值不等式球最值.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2007，（5）.

篇4

誤區(qū)一：二次函數(shù)的頂點縱坐標為最大值

在二次函數(shù)的實際應(yīng)用中，二次函數(shù)的頂點縱坐標并不一定為最大值，我們應(yīng)具體問題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養(yǎng)雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？

錯解：AB=x BC=100-2x

S=AB?BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

a=-2

當x=25時，Smax=1250

正確解答：

AB=x BC=100-2x

S=AB?BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x

a=-225

S隨x的增大而減小

當x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點評：很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯這樣的錯誤，他們認為利用二次函數(shù)求最大值，只要求出二次函數(shù)表達式，并將之化為頂點式，頂點縱坐標即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點就不在自變量范圍內(nèi)，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可知當x=40時，S會有最大值。

誤區(qū)二：二次函數(shù)開口向上沒有最大值

例2.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設(shè)y1=kx（x≥0），設(shè)y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2

（2）設(shè)這位專業(yè)戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，當x=2時，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，當x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，當x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，這位專業(yè)戶能獲得的最大利潤是32萬元。

點評：此題第（2）問，很多學(xué)生會說a=0.5，二次函數(shù)開口向上，應(yīng)該沒有最大值，其實不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數(shù)w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側(cè)（即當0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側(cè)（即當2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。

總述：

篇5

關(guān)鍵詞： 最小二乘法 直線擬合 LINEST函數(shù) 應(yīng)用

一、最小二乘法求直線擬合的原理

在大學(xué)物理實驗中，有不少直接從實驗的數(shù)據(jù)求某種物理規(guī)律的經(jīng)驗方程即函數(shù)關(guān)系的問題，此類問題稱為方程的回歸問題。方程的回歸的首要問題就是確定函數(shù)形式，兩個物理量x、y之間存在：y=a+bx（1）的線性關(guān)系，如用自由下落物體測量重力加速度，在氣墊導(dǎo)軌上驗證牛頓第二定律，用拉脫法測量液體表面張力系數(shù)實驗中力敏傳感器的定標，等等，（1）式中a、b均為常數(shù)，且只有一個變量x，此類關(guān)系也稱為一元線性回歸。回歸的問題可以認為是用實驗數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù)，即求解參數(shù)a、b。例如實驗測得的數(shù)據(jù)是x=x，x，…，x時，與之對應(yīng)的y=y，y，…，y。假設(shè)x的誤差可以忽略，僅y具有相互獨立滿足正態(tài)分布的測量誤差，記作d，d，…，d。這樣，把實驗數(shù)據(jù)代入（1）式中，有：y=a+bx+dy=a+bx+d……y=a+bx+d（2），此方程由于未知數(shù)比方程數(shù)多，故不能直接求解，要想得到合理的a、b值，就要根據(jù)最小二乘原理，使y的殘差平方和RSS=?蒡（y-（a+bx））（3）為極小值。由=0和=0，分別可得?蒡（y-（a+bx））=0（4）和?蒡（y-（a+bx））x=0（5），聯(lián)立上式可得：a=（6），b=（7），進一步可得x和y的相關(guān)系數(shù)r：r==（8）。

二、LINEST函數(shù)的應(yīng)用舉例

拉脫法測量液體表面張力系數(shù)實驗是大學(xué)物理實驗中的一個經(jīng)典實驗。隨著實驗儀器的更新，傳統(tǒng)的焦利氏稱逐漸作簡便準確度更高的FD-NST-Ⅰ型液體表面張力系數(shù)測定儀所取代，實驗儀器如圖1所示。

在該實驗中，記下吊環(huán)即將拉斷液柱前一瞬間數(shù)字電壓表讀數(shù)值，拉斷時瞬間數(shù)字電壓表讀數(shù)U，便可依據(jù)公式f=（U-U）/b（9）測得液體表面張力f，（9）式中b為硅壓阻力敏傳感器的靈敏度。在力敏傳感器上分別加各種質(zhì)量的砝碼，測出相應(yīng)的電壓輸出值，結(jié)果見表1所示。

力敏傳感器為測力裝置，在拉力小于0.098N時，拉力和數(shù)字電壓表的輸出值成y=a+bx的線性關(guān)系，其中b為力敏傳感器的靈敏度。得到b值的過程我們稱為力敏傳感器的定標。在定標過程中需要用最小二乘法擬合儀器的靈敏度b，該計算很繁瑣，但根據(jù)誤差理論此方法最佳，我們可利用Excel軟件中的LINEST函數(shù)進行數(shù)據(jù)處理，方便簡潔不易出現(xiàn)錯誤。

打開Excel軟件，在A欄和B欄分別輸入數(shù)字電壓表的輸出值和砝碼對應(yīng)的拉力數(shù)值，其中B欄數(shù)值的單位為N，如圖2。

選C、D欄為放計算結(jié)果的區(qū)間，鼠標點擊“插入”欄選擇“插入函數(shù)”，彈出“插入函數(shù)”二級界面后，在“或選擇類別”欄選擇“統(tǒng)計”，在“選擇函數(shù)欄”點擊LINEST函數(shù)，如圖3所示。

鼠標點擊確定后進入如圖4所示的界面，在Known_y’s欄輸入A1∶A7，在Known_x’s欄輸入B1∶B7，Const和Stats欄分別輸入true。

按Ctrl+Shift+Enter鍵，便得到了最小二乘法求直線擬合后的數(shù)據(jù)，如圖5所示。其中C1欄顯示為斜率，即經(jīng)最小二乘法擬合后的儀器的靈敏度b，b=3.015×10mV/N。C3欄為擬合的線性相關(guān)系數(shù)r=0.9994。

三、結(jié)語

通過以上的實例分析可知，在大學(xué)物理實驗數(shù)據(jù)處理中，用傳統(tǒng)方法求解一元線性回歸方程的參數(shù)計算量大，容易出現(xiàn)錯誤，學(xué)生在處理數(shù)據(jù)時也易產(chǎn)生抵觸心理。合理利用Excel軟件中的LINEST函數(shù)進行數(shù)據(jù)處理，簡單方便，不失為最小二乘法求直線擬合的一種好方法。

參考文獻：

［1］楊述武.普通物理實驗（2版）.北京：高等教育出版社，1993.3.